アニメ「すべてがFになる」 7は孤独編

「1～10を二つのグループに分けて、両者ともグループの全ての数字を掛け合わせたときに二つの積が等しくなることはありますか。」

という真賀田博士の質問。結構単純ですが、暗算編のおまけということでここで考えてみましょう。なお萌絵のように即答できない凡人の思考でやります。

まず積を考えるのだから1は度外視してよろしい。ということで2～10を考えます。

2

3

4=2＊2

5

6=2＊3

7

8=2＊2＊2

9=3＊3

10=2＊5

グループの積が等しいならば素因数分解したときに素数の数がそれぞれ等しいことをふまえると、上を見ただけで等しくなることはありえないってわかりますがもう少しお付き合いを。

まず2についてですが、総数が8なので4ずつに分ければ積は等しくなります。

(2 8,4 6 10)、(2 4 6,8 10)、(2 4 10,6 8)　これで全部ですね。

次に3ですがこれは四つあるので(3 6, 9)と分ければいいですね。

5は（5, 10)です。

とすると、7抜きで考えた時は(2  5 8 9,3 4 6 10)と分けると720で積が等しくなります。

（2 3 4 5 6, 8 9 10)、(2 4 9 10, 3 5 6 8)も720で積が等しくなります。これで全部ですかね。(数え漏らしがあったら教えてください）

どちらかに7を加えると片方のグループのみ7＊720=5040となるので等しくなることはない、というのが凡人の解答でしょうか。

でここから発展編ですが、より大きな数まで考えた時にグループの積が等しくなることはあり得るのでしょうか。小さい方まで考えた時には等しくなることはないと上の数字を眺めていればわかります。

7の仲間をいれるために14まで拡大すると11と13が孤独で、26まで拡大しないといけません。すると17と19が孤独で・・・という風にこれは簡単じゃないですね。

等しくなる可能性が出てくるのは、考えているグループで最も大きい素数を二倍した数までグループを拡張したときに新しい素数が入っていない時です。素数をAとすると、

「2Aより小さい数にAより大きな素数が存在しない」

と言い換えられます。ですが、そんなことがあり得るのでしょうか。

そこで調べてみたところ「どんなに大きな数でも600個ごとに区切ると素数が2個見つかる」ことが分かったと出てきました。（以下参照）

素数の間隔で新定理発見 極端な偏りなく分布、米英数学者 - 47NEWS（よんななニュース）

この記事の言い方だと＋600の間に必ず2個入っている訳ではないようですが、区間二倍を考えるとグループを大きくするほど積が等しくなる可能性は小さくなりそうです。

ということで素数の分布が絡んでくる意外と面白い問題に行き着きましたが、今のところこれ以上は分かりません。西之園君か犀川先生に聞いたら即答されるかもしれませんが。

１～〇までなら積は等しくなるよ！と知っている方がいらっしゃったら教えてください。